Las axiomáticas formalizadas

La axiomática se define como el proceso mediante el cual todo un sistema, por ejemplo una ciencia, puede ser generado empleando reglas específicas y la deducción lógica, partiendo de ciertas proposiciones básicas que son los axiomas y los postulados. La idea básica es la de descubrir un modelo para los postulados del sistema axiomático, de modo que cada uno de ellos constituya una afirmación verdadera. A esta tarea se dedicaron Peano y Hilbert, considerados los padres de la axiomática formal, la cual experimentó un proceso de reestructuración al surgir la teoría de los conjuntos de Cantor, cuya asimilación da lugar a la axiomática moderna.

La simbolización es un procedimiento que consiste en aplicar el método del análisis lógico a una determinada proposición. Analizar lógicamente significa mostrar de una manera totalmente explicita y exhaustiva sus relaciones sintácticas subyacentes y permitir, determinar, de esa manera todas sus interpretaciones posibles.

Formalizar quiere decir escribir una expresión de una manera estándar que todos entiendan. El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la formula o estructura de las proposiciones e inferencias. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos variables proporcionales y constantes u operadores o conectores lógicos. Las variables proporcionales representan cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas del alfabeto. Las meta variables representan cualquier fórmula o proposición compuesta son letras mayúsculas del alfabeto

Una axiomática formalizada aparece como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos.

La metamatemática será en relación a la expresión matemática lo que la matemática usual es en relación a sus objetos.

El método axiomático prosigue el análisis de las nociones primeras, obligando a aislar ciertas propiedades enunciadas expresamente en los axiomas y a usar únicamente a ellas o lo que se haya deducido de ellas. Un progreso en la abstracción va siempre a la par con un progreso en lo general, dejando caer algunas de las determinaciones disociadas por el análisis. La reducción de la comprensión elimina las restricciones y asegura el ensanchamiento de la extensión. Russell afirma que generalizar es transformar una constante en una variable, y tal es precisamente el trabajo del axiomático cuando sustituye la recta, la congruencia, por x, y…, que satisfacen a las relaciones que enuncian los postulados.

La indeterminación de una estructura formal no puede considerarse una indigencia desde el momento en que no es una cualquiera, sino que se encuentra regulada por condiciones muy precisas. La pluralidad de los posibles, en los límites precisamente delimitados, representa por lo contrario una verdadera riqueza virtual. Se obtiene de este modo, por la axiomática, una economía importante de pensamiento, pues se reúnen varias teorías en una, lo múltiple se piensa en uno.

A estas ventajas, que ya en primer grado ofrecen las primeras axiomáticas, vienen en forma natural a combinarse, en las axiomáticas formalizadas, las de todo cálculo simbólico: seguridad, objetividad. El carácter ciego y cuasi mecánico de sus procesos no es, en forma alguna, su menor interés, pues permite que sean ejecutados por una máquina, reservándose así el espíritu para las operaciones de nivel superior.

Las primeras axiomaticas

Una axiomática es una afirmación,  hoy en día para la ciencia toda afirmación debe ser comprobada, se considera ya intolerable que se afirme sin argumentación y solo por intuición un enunciado.

Intuición Espacial: Una percepción intuitiva de nuestro entorno y de los objetos que hay en él.

Podemos concretarla con un frase: El control de cualquier situación (espacial o problemática) desde tu mente.

La historia entera de la geometría atestigua una tendencia constante a restringir cada vez más su dominio y acrecentar otro tanto las exigencias lógicas

Pasch intento la primera axiomatización de la geometría, él fue quien planteo que para que la geometría llegue  a ser verdaderamente una ciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independientes del sentido de los conceptos geométricos, como debe serlo de las figuras, solo deben tomarse en consideración las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geométricos. Durante la deducción puede ser conveniente y útil pensar en la significación de lo conceptos geométricos utilizados, pero esto no es en manera alguna necesario; de suerte que precisamente se hace necesario cuando se manifiesta una laguna en la deducción y en la insuficiencia de las proposiciones invocadas como medios de prueba.

Una exposición deductiva debe tener mencionados los términos primeros, con ayuda de los cuales se propone uno definir todos los otros; las proposiciones primeras deben ser enunciadas para ayudarse a demostrar todas las otras; y las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas, y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a términos; estas relaciones solo deben intervenir en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos que prohíbe, en particular, tomar prestado algo a la consideración de las figuras.

La reducción de la comprensión elimina las restricciones y asegura el ensanchamiento de la extensión. Russell afirma que generalizar es transformar una constante en una variable, y tal es precisamente el trabajo del axiomático cuando sustituye la recta, la congruencia, por x,  y…, que satisfacen a las relaciones que enuncian los postulados. De este modo, cuando descartamos las significaciones intuitivas, que siempre son especiales, no sólo nos hacemos capaces de pensar en forma más desebarazada la teoría inicial, sino que, de golpe, se forma un instrumento intelectual plurivlente que puede utilizarse en todas las teorías isomorfas ala primera. Del mismo modo que una función es, como se ha dicho, un molde de propoihiobiciones, una teoría axiomatizada llega a ser una especie de “función teórica”, un modelo deteorías concretas. El defecto de la univocidad, lejos de perjudicar a las definiciones por pstulados, por lo contrario constituye su interés. La indeterminación de una estructura fora no puede considerarse una indigencia desde el momento en que no es una cualquiera, sio que se encuentra regulada por condiciones y precisas. La pluralidad de los posibles, en los precisamente de limitados, representa por lo contrario una verdadera riqueza virtual. Se obtiene de este modo, por la axiomática, una economía importante de pensamiento, pues se reúnen varias teorías enuncia, lo múltiples e piensa en uno.

EL MÉTODO AXIOMÁTICO

Uno de los aspectos fundamentales en cualquier interpretación rigurosa de la realidad es la coherencia interna de la explicación. Es conveniente atender a este aspecto con toda la claridad que sea posible. La lógica se ocupa del estudio de las formas correctas de pensar y sirve, por tanto, no sólo para comprobar la validez formal de los argumentos, sino que permite también la elaboración formalmente rigurosa de las explicaciones teóricas.

El método que permite dar cumplimiento a estas necesidades es el de la axiomatización. Este método axiomático (o axiomática) consiste en la formulación de un conjunto de proposiciones o enunciados, llamados axiomas o postulados, los cuales guardan entre sí una relación de deductibilidad, y sirven de hipótesis o de condiciones para un determinado sistema. El objeto de un sistema axiomático es utilizar un pequeño número de propiedades y precisar cómo deducir de ellas todas las demás.

No es posible alcanzar un control objetivo absoluto acerca del saber: tenerlo todo explicitado sin presupuestos. No cabe alcanzar un dominio total de la objetividad. Pero sí merece la pena que lo objetivable se exprese del modo más claro y formalmente riguroso que pueda alcanzarse, conscientes de las limitaciones inherentes al intento y de la necesidad de presupuestos no sistematizables para que el conocimiento pueda cumplirse.

Axioma procede de Axiou "valor positivo", "reconocimiento de la validez". Indica un Principio – en forma de proposición- para otros enunciados que se deducen de él. Antiguamente se consideraba que los axiomas debían ser enunciados evidentes, seguros y con prioridad ontológica, modernamente se han variado estas exigencias. Un sistema axiomático, pues, contiene dos clases de enunciados: los axiomas, y los enunciados deducidos de ellos.

En la axiomatización se acomete por separado la sistematización de los significados (expresiones) y la de la formalidad estructural (enunciados). El primer orden es el de las nociones y su definición, el segundo el de la “gramática” que concreta las formas correctas de relacionar los términos. Se debe establecer los axiomas propios del dominio del que se trata, acompañados entonces de numerosas reglas tomadas de la lógica; y establecer axiomas del dominio propio, junto a algunas leyes lógicas y a determinadas reglas de conclusión, que suelen ser entonces pocas.

La ciencia de la naturaleza que más emplea el método axiomático es la física. Como las ciencias de la naturaleza no son meramente formales, sino que deben conectar con el sentido observable en la experiencia, en ellas es preciso axiomatizar, tanto la estructura formal de los enunciados, como el significado de los términos que se admiten como teniendo sentido.

El problema con que se encuentran las ciencias para esta elaboración sistemática radica en la existencia de una diversidad notable de sistemas lógicos. Esta dificultad puede llevar a un relativismo difícilmente superable. De todos modos, los sistemas que contienen sentido eidético siguen las condiciones de la lógica clásica, así como las reglas metalógicas, que siempre están dotadas de sentido y siguen también la lógica clásica. Las contradicciones que parecen haber entre diversos sistemas obedecen, además, a la diferente definición de los símbolos en cada uno, más que en una auténtica contradicción.

POTENCIAL DE LA CALCULADORA EN EL DESARROLLO DEL SENTIDO NUMÉRICO

Hablamos acerca de un trabajo en clase para desarrollar las habilidades y competencias de los jóvenes para favorecer  la comprensión de las nociones aritméticas a partir de la solución de problemas muy diversos y permitir el desarrollo de estrategias de conteo, cálculo mental, estimación de resultados y el uso inteligente de la calculadora.

El uso de la calculadora  puedes ser de carácter destructivo si se deja a lo alumnos realizar  cualquier operación con ella evitando su razonamiento,  propiciaba un aprendizaje mecanicista que no favorece la comprensión de conceptos, ni un uso eficiente de la aritmética como herramienta para resolver proble, sin embargo sirve como una herramienta para comprender y manejar información de tipo cuantitativo, que llega hacer muy útil si se apreobecha de la manera correcta, y aun con su empleo se le enseña al alumno a razonar y analizar los problemas.

parece sensato pensar que la función de las operaciones de la aritmética, y los conceptos que éstas involucran, podrían comprenderse mejor si su enseñanza se ubica en un contexto en donde la finalidad no sea simplemente ejecutar bien las operaciones básicas, sino usarlas como un medio para resolver problemas. Sin embargo, el diseño de actividades para una enseñanza basada en la resolución de problemas es una de las grandes dificultades aún no superadas, como o quien determina cuáles problemas son más adecuados y cuales no.

Diversos estudios han mostrado el potencial del uso de la calculadora como apoyo en la resolución de problemas, en particular, se ha encontrado que el uso de la máquina favorece que los estudiantes se concentren en los procesos de solución al hacer descansar el cálculo aritmético en la calculadora. Otro aspecto favorable a este respecto es que la disponibilidad de la calculadora en el aula permite que los problemas propuestos sean “más realistas”, ya que el apoyo que brinda la máquina ayuda a que el profesor introduzca en el planteamiento de problemas datos numéricos que no se restringen al manejo de números enteros, aspecto que en el ambiente del lápiz y el papel limita artificialmente las situaciones que dan contexto a un problema matemático.

Cuando se realizan actividades con la calculadora, el cálculo numérico no debe ser  el objetivo central de las actividades, sino un medio para realizarlas. Las actividades así diseñadas y el apoyo de la calculadora, propician que los estudiantes exploraran tantas estrategias como les sea posible sin que eso agote sus esfuerzos, lo cual parece  favorecer que en muchas ocasiones se encontraran más de una forma de resolver un problema.

El uso de la calculadora en la clase introduce por sí mismo un elemento que motiva curiosidad en los estudiantes, esta curiosidad se manifiesta en un notorio interés en la clase de matemáticas.

Una de las primeras cosas que aprenden los estudiantes es que la calculadora puede realizar los cálculos con mayor velocidad que ellos, y que la calculadora no puede actuar por sí misma ni elegir qué operaciones deben realizarse para resolver un problema; eso es algo que ellos sí pueden hacer. Los estudiantes aprenden pronto a usar la calculadora para poner a prueba sus conjeturas, así que, con el apoyo de la máquina, ahora ellos son capaces de contestar por sí mismos muchas de las preguntas que usualmente planteaban al maestro o a compañeros más competentes. La posibilidad de avanzar por sí mismos refuerza notablemente su auto estima.

LOS DEFECTOS DEL APARATO EUCLIDIANO

En una teoría deductiva, cualquier sentencia que es una consecuencia lógica de una o más de los axiomas es también una sentencia de la teoría. Una teoría deductiva puede expresarse dentro de un sistema formal de la lógica cuyas reglas elementales, es decir, las leyes científicas, se toman como axiomas.  La geometría clásica era aplicada por mucho tiempo por la teoría deductiva, gracias a Euclides.

Si hablamos de teoremas, cada uno se encuentra unido por una relación necesaria a las preposiciones, de las cuales  se deduce como consecuencia, de suerte que, paso a paso, se constituye una red apretada en donde, directa o indirectamente, todas las proposiciones comunican entre sí. Asi, el conjunto forma una parte sin comprometer el todo.

Si nos regresamos un poco en la historia, los griegos razonaron ampliamente en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del arte de demostrar. Con ellos la geometría dejo de ser considerada como enunciados empíricos (basados en la experimentación)  a una ciencia racional, osea que aplica el razonamiento a las sus observaciones,y toda observación científica requiere de la explicación lógico-racional.

Un sistema axiomático o una teoría axiomática, es pues la forma acabada que toma hoy una teoría deductiva.

Los postulados

Un postulado es una proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.

Un teorema de geometría era a la vez un informe sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema lógico, una verdad  de hecho y una verdad de razón.

En cuanto a los sistemas, los principios que los imponen son simples hipótesis en la aceptación matemática de este término: no son dudosos, tampoco afirmados, está más allá de lo verdadero y lo falso. La verdad matemática toma así un carácter global: la de una vasta implicación, en donde la conjunción de todos los principios constituye el antecedente, y la de todos los teoremas, el consecuente.

LAS FIGURAS

Se ha discutido mucho para saber si la consideración de las figuras es esencial ala especulación geométrica. Una figura es la forma exterior de un cuerpo, o su representación gráfica en un dibujo escultura etc. Por lo tanto, si las demostraciones geométricas clásicas son tomadas como modelos, entonces es verdad que la intuición debe intervenir ahí. En las nuevas geometrías sus espacios ya no se dejan casi representar en la intuición. La intuición es  aquel conocimiento que es directo e inmediato, sin intervención de la deducción o del razonamiento, siendo habitualmente considerado como evidente.  Asi que la Intuición, es tan fuerte que aun su ausencia no se nota.

Proposiciones que anuncian propiedades topológicas, es decir. Conciernen al orden y a la continuidad, independientemente de toda consideración de ángulos y de métrica.

Un método riguroso no puede permitirse permanentemente usar solo intuición, exige que todas las propiedades supuestas sean enunciadas bajo la forma explícita de proposiciones: las que se demuestres, serán afirmadas como teoremas, las otras irán a aumentar el número de los postulados.

Los axiomas “nociones comunes” de Euclides, en otras palabras son axioma, Proposición clara y evidente que no necesita demostración

Han sido tomadas como una misma palabra, una axiomática es una postulantica. En la medida que se les da distinción a una de la otra, el axioma en vuelve la idea de una evidencia intelectual. Mientras que el postulado es una proposición sintética cuya contradicción, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante concebible, el axioma sería una proposición analítica que contribuiría un absurdo negar.

Ejemplo: “que es mayor que” se entiendo como “tiene una potencia superior  a” donde el axioma deja de valer para los conjuntos infinitos, en donde, no obstante el todo contiene con una demasía, ala parte.

Definición.- f. Proposición o fórmula por medio de la cual se define dando un conjunto de propiedades suficiente para designar de manera unívoca un objeto, individuo, grupo o idea:
una definición debe ser clara y exacta.

Definición y demostración.

El papel de la definición será hacer concebir exactamente el sentido de los términos que componen las preposiciones, y el de la demostración, hacer admitir la verdad de estas. Definición y demostración dependen entonces, de la retórica; su función es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica.

Pedagógicamente la buena demostración, o la buena definición, es la que el alumno comprende.