ANÁLISIS COGNITIVO DE LA FORMACION INICIAL DEL PROFESOR EN MATEMATICAS

El análisis didáctico describe el modo en el que el profesor debiera diseñar, implementar y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, para poder desarrollarlo deberá poseer un conocimiento didáctico, lo que se refiere a sus conocimientos y habilidades, debe saber cómo realizar una buena planeación, pues para poder aplicar cualquier didáctica, antes debe planearla y organizarse en tiempo y objetivos, buscando las estrategias, dinámicas y actividades a realizar de manera que pueda obtener un resultado eficaz y efectivo, dentro del tiempo disponible, de nada sirve que prepare una excelente clase, con las mejores dinámicas si el tiempo no le permitirá desarrollarla.

Cuando se encuentran docentes iniciando su preparación, con vocación y gozan de una predisposición favorable y un potencial innovador, son reflexivos, críticos, autocríticos y flexibles con respecto a sus posturas, creencias, actitudes y concepciones sobre el contenido matemático escolar y sobre su enseñanza. Además, resultan ser efectivos y autónomos  a la hora de acceder a e incorporar las distintas propuestas innovadoras sobre el modelo local de los organizadores que se les impartieron durante el desarrollo del programa de formación. Casi siempre proponen utilizar la tecnología en todo momento que sea necesario y conveniente, desde las actividades iniciales de introducción y motivación del tópico en cuestión, hasta las actividades finales de evaluación del mismo, lo que puede ser muy efectivo como parte de un cambio a la educación, el problema inicia cuando salen dela escuela normal y se enfrentan a una escuela real donde escasean los recursos y resulta casi imposible utilizar la tecnología por motivo a las decadencias dela escuela, o donde los mismos alumnos no saben valorar estos recursos y los descomponen y desaprovechan.

También existen los profesores que en formación que al igual muestra predisposición favorable y potencial innovador, sin embargo, a diferencia de los primeros, en la práctica, no integran de manera efectiva las propuestas curriculares, tecnológicas y didácticas que se les formularon. Tampoco dan muestras de modificar sus concepciones y creencias iniciales sobre el contenido matemático y su enseñanza. Estos futuros profesores se limitan a agregar a sus propuestas iniciales de actividades y unidades didácticas (las cuales se caracterizan por ser las típicas propuestas tradicionales, academicistas y formalistas), secciones apartes y sin mayor relación con las demás, en las que proponen utilizar las calculadoras. Las actividades que utilizan son exactamente las mismas que se les proponen durante el curso o que copian tal cual de los manuales de usuarios de las calculadoras. Sin embargo, estos alumnos no están de acuerdo en permitir a los estudiantes de secundaria utilizar las calculadoras en los exámenes, salvo en secciones de evaluación aparte y especiales. Encontramos entonces que son poco autónomos, están de acuerdo en todo lo que dice el programa y se limitan a innovar, lo que nos lleva a presenciar clases monótonas y hasta cierto punto tradicionales,  no hay esfuerzo por buscar estrategias idóneas para el desarrollo de las habilidades cognitivas de los alumnos de secundaria, y se supone que dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje el objetivo principal es que el alumno resuelva problemas para su desarrollo de habilidades cognitivas, y esto con motivo de que el alumno pueda controlar su propio proceso de aprendizaje y el modo en que lo realiza, o sea que sepa donde y cuando aplicar cierta estrategia,  etc. Esto se puede lograr si se utiliza la psicología cognitiva como herramienta, mejorando los temas a enseñar, con una mayor creatividad en los métodos y estrategia aplicados por el docente.

En algunas áreas cognitivas es posible formular teorías de competencia, que especifiquen: qué tiene que ser calculado, cuándo, y por qué; y posteriormente, con base en estas teorías desarrollar un algoritmo que lo represente. A esta área de estudio se le conoce como la teoría de competencia y se realiza a través de los esquemas.

Regresando al tema inicial, también existen profesores que desde su inicio se caracterizan por tener una predisposición desfavorable hacia la incorporación de las tecnologías en el currículo de matemáticas de secundaria, son reacios o resistentes al cambio y a la innovación tecnológica y curricular. En todo caso, para estos futuros profesores, dichos recursos tecnológicos deben ser permitidos solamente después que los estudiantes hayan aprendido y tengan cierto dominio básico de las nociones y procedimientos matemáticos correspondientes que se proponen enseñar en el currículo tradicional. Estos conocimientos los consideran estrechamente asociados con las tecnologías tradicionales del papel y lápiz.

Los profesores de cualquier tipo deberán llevar a cabo su análisis didáctico el cual debe incluir cuatro análisis más, análisis de los contenidos, de lo cognitivo, de la instrucción, y de la actuación, donde el profesor determina las capacidades que los alumnos han desarrollado y las dificultades que se les presentaron, como una evaluación de la didáctica.

DIFICULTADES ALGEBRAICAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Se dice que la resolución de problemas es una de las tareas más creativas, exigentes e interesantes para la mente humana y que es un área que ha atraído el interés de los científicos cognitivos desde siempre, en especial en ciencias y Matemáticas, por lo tanto se convirtió en uno de los principales objetivos a resolver para la educación. Existe una diferencia entre un ejercicio y un problema, el ejercicio resuelve empleando las reglas generales, un procedimiento ya determinado con el que se obtiene el resultado, pero para resolver un problema en primero lugar se debe de identificar, se necesita analizar las ideas, aplicar hipótesis, no solo emplear las formulas generales, si no que ver  identificar la manera correcta para aplicar estas y entonces el logaritmo será resuelto. Se necesita pensar, analizar, reflexionar, etcétera.

 

El autor Jiménez-Aleixandre diferencia los problemas ‘auténticos’, complejos, conectados con la vida real y destaca su utilidad para desarrollar la cultura científica en las aulas. En ciencias y matemáticas, intentar solucionar un ejercicio de mera aplicación o un problema que exige comprensión conceptual de la realidad, implica, activa y desarrolla diferentes tipos de conocimientos

Los famosos problemas razonados se nombraba si, ya que es necesario reflexionar y usar la razón para llegar a resolverlos. El problema empieza desde la lectura del enunciado, y comprender lo que se nos requiere obtener, el enunciado puede ser un texto generalmente corto, con pocas frases y no requiere de mucho labor, pero por estar, en ocasiones, en un lenguaje algebraico a los alumnos les resulta muy difícil identificar lo que se les pide, la palabrería los revuelve y al no analizar no entiende, se cierran en la idea de no entender y pierden el interés en el problema, provocando incumplimiento de la tarea o de la actividad de clase.

Este tipo de problemas demandan una gran cantidad de variables y la activación de conocimiento previo específico conceptual, situacional, procedimental, estratégico y esquemático para atender la demanda del problema.

Existe una teoría en cuanto este tema la teoría de Kintsch, donde se mencionan algunos niveles dentro de un texto para comprenderlo, como el nivel del léxico, el  semántico y el nivel referencial en el que la información semántica del texto se relaciona con el conocimiento previo y se puede aplicar a nuevas situaciones. Con base a esta teoría dos nuevos autores  Kintsch y Greeno (1985), para ser exacta,  aplicaron esta teoría a los problemas aritméticos con enunciado, postulando la existencia de un nivel de representación, específico de los problemas, que ellos llamaron Modelo del Problema (MP): más allá de la representación de los objetos y eventos del mundo observable, los problemas matemáticos y científicos requieren también de abstracciones en términos de magnitudes, números, operaciones, ecuaciones, etc. El conocimiento que un alumno debe poseer  para resolver un problema se amplía para incluir la capacidad de representar relaciones de un modo abstracto y la capacidad de realizar las operaciones matemáticas necesarias para llegar a la solución pedida.

En el proceso de resolución de un problema matemático con enunciado hay al menos 3 niveles donde cada uno  puede presentar obstáculos para los estudiantes y estos son la comprensión de la situación descrita en el enunciado con sus entidades, sus relaciones y sus atributos a un nivel concreto, no abstracto.

Es decir, la persona que resuelve problemas con enunciados debe construir las representaciones del texto del enunciado en términos del contenido léxico, semántico o referencial. Ello incluye las reglas y las normas que rigen el funcionamiento del mundo que el sujeto conoce, y que sirven para que la situación descrita sea representada una vez entendida. El conocimiento general del mundo que el sujeto posee debe ser activado para subsumir la situación descrita en un esquema de funcionamiento conocido, lo que significa poder interpretar la situación del lenguaje natural al matemático y viceversa. El sujeto debe pasar de un modelo mental de la situación descrita en términos concretos (objetos y eventos; atributos y características espacio-temporales) a una representación abstracta Modelo del Problema que involucra magnitudes y fenómenos; cantidades y relaciones matemáticas; teoremas, leyes y axiomas. También en sentido contrario, a la hora de interpretar el resultado de un problema: las cantidades y abstracciones resultantes (MP) deben vincularse de nuevo con objetos y eventos del mundo. 

LOS NÚMEROS NEGATIVOS

Existen algunos conceptos de las matemáticas que presenta complejidad y muchas características diferentes que ocasionan en su desarrollo y aprendizaje sea lento como ejemplo  tenemos a los números negativos por su gran variabilidad de aplicaciones plantean graves problemas, pero no existe un algebra posible sin ellos.

Se justifica la introducción de números negativos de diversas formas, desde la interpretación de situaciones concretas como desplazamientos, hasta la ampliación formal de la sustracción, pasando por interpretaciones operativas, y explicaciones retoricas propias de la aritmética.

Cuando los docentes nos apoyamos de situaciones cotidianas les es más fácil entender el tema al alumno por que le resulta información familiar, con la que en alguna ocasión se ha tenido que enfrentar sin tener estos conocimientos. Es entonces cuando encuentran su importancia y lugar en la vida, asiendo se les  mas fácil entender. Para explicar los números negativos podemos basarnos de algunas de las leyes de la física como la de desplazamiento de objetos, donde se desarrollan situaciones de avances o retrocesos de objetos y para representarlas utilizamos cantidades de signo positivo como movimiento de  avance y negativo como retroceso.

Otro claro ejemplo de fenómenos naturales y números negativos es con la medición de la temperaturas, el termómetro y utiliza de una modelización a través de los números enteros por lo que identificamos que existe un cero único y es coherente pasar de un lado del cero al otro por que se sigue indicando el valor de un mismo tipo de cantidades, esto es temperaturas.

Ahora que si hablamos de fenómenos, que mejor hablar de los fenómenos matemáticos, donde  se manifiestan cinco clases de ellos como las comparaciones de orden, que es donde comparamos cantidades entre valores numéricos positivo o negativos; las operaciones aritméticas, mediante adiciones o sustracciones; las operaciones algebraicas, donde se recurre a la extracción de raíces de expresiones algebraicas y a la resolución de problemas; las secuencias numéricas, donde lo más importante pasa hacer el signo del número y su valor para determinar la posición que ocupara en la secuencia; y por ultimo están las posiciones o desplazamientos geométricos, donde tiene participación la recta numérica y sus números negativos con sus desplazamientos, así como las traslaciones y rotaciones de los segmentos alrededor de un eje puntual sobre una circunferencia etc.

Entonces los fenómenos son la base del sistema de los números negativos se basan siempre en la comparación de cantidades, utilizando las relaciones “mayor que” o “menor que” que expresan el incremente o disminución de una cantidad de partida.

Si planteamos todos estos conocimientos al alumno de un solo tajo y sin pausa, será imposible para el alumno entender cada una de las funciones y valores que toman los números negativos según sea el caso, lo que solo nos llevara a crear más dudas y una clara desmotivación hacia las matemáticas, es responsabilidad de nosotros sus docentes crear esa armonía entre las matemáticas y los alumnos, con claras explicaciones, un dominio absoluto del tema que se esté explicando para que siempre que surjan dudas, porque siempre las hay. El maestro se encuentre preparado para resolverlas usando la estrategia que más le convengan, por eso se dice que el Profesor debe ser previsor, y pensar más allá de lo que dicen sus alumnos, para que en su planeación incluya más de una estrategia y tenga suficientes actividades para resolver porque es mediante la practica la única forma de aprender y entender bien el contenido, ganando agilidad y destreza, al desarrollar esas capacidades tratadas.

Bibliografía:

Números negativos en los siglos XVIII y XIX: fenomenología y representaciones.

Alexander Maz Machado, Luis rico romero. Departamento de matemáticas, universidad de Córdoba. España. Pág. 6- 18.

 lectura de apoyo

Pensamiento Algebraico

Algo importante a reconocer es el buen cambio que se da al pasar de la aritmética al algebra donde se encuentra un choque y los alumnos mas perezosos son los que mas batallan para adaptarse. El pensamiento algebraico exige renunciar al cálculo de   las incógnitas intermedias y evitar preocuparse por el sentido de las dimensiones expresadas en tal o cual momento de la solución. 

Un problema común que se detecta es con respecto al signo de igual, pues se están acostumbrados por la aritmética que este  simboliza el resultado del procedimiento, ósea el momento final de la operación y por lo tanto el resultado a la problemática por la cual se realizo la operación, sin embargo en el algebra, este signo representa la igualdad de números o una igualdad de funciones, de las cuales partimos para resolver nuestra incógnita. 

La interpretación de este signo al principio puede representar confuso, pero es por medio de la práctica y revolvimiento de problemas con el cual podemos reconocer sus funciones.

Cada operación algebraica se resuelve mediante un proceso determinado de pasos lógicos, que se desarrollan conforme la necesidad del problema, me refiero al interés por obtener un resultado, a este termino se le a determinado como scrip-algoritmo y se refiere precisamente al conjunto de pasos que se desarrollan en el proceso de solución a una operación algebraica, desde un simple despeje asta una función diferencial. Sin embargo, los alumnos no han logrado desarrollar un pensamiento lógico por motivo de la deficiencia en la educación, donde los profesores se enfocan mas ver los contenidos exclusivamente y avanzar del programa, que velar por las necesidades de los alumnos, como en su caso, realizar actividades y problemas que ayuden a el desarrollo de capacidades como el pensamiento critico, y el lógico.

En matemáticas se tiene la “facilidad” que todos los contenidos podemos relacionarlos con problemas razonados que ayudan al desarrollo de estas capacidades, pero por deficiencia, muchas veces se prefiere trabajar con simpes problemas para avanzar en los contenidos sin detenerse a elaborar y pensar en situaciones de la vida cotidiana donde se aplique estos conocimientos  y elaborar un problema razonado. La complicaría de la lógica trasciende en que a veces la lógica resulta tan lógica que se vuelve difícil de entender para el alumno, pero es solo con la práctica con la que se aprende a trabajar con ella.

En el pensamiento algebraico utilizamos letras a las que llamamos incógnitas, para representar cantidades que nos son desconocidas, a veces una función contiene varias incógnitas, y con operaciones a realizar, la dificultad viene de la pregunta ¿Cómo multiplico, divido, o resto un numero de otro, si no los conozco? Y viceversa. Aun que esta misma pregunta es la que nos lleva a obtener el resultado final, pero se debe estar atento a lo que se requiere obtener como resultado, entender las operaciones a realizar, etc.

Otro problema que se presenta es la identificación de una variable, y de una función, dos términos diferentes, que fácilmente pueden ser confundidos como iguales, la función es una relación entre un conjunto dado X y otro conjunto de elementos Y de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del condominio f(x).  Una variable esta representada por  letras del abecedario que pueden tomar cualquier valor, también conocidas como incógnitas. 

Dentro del algebra se siguen ciertas reglas para su correcta resolución, como ejemplo la regla de los signos, donde si se tienen dos números con signos diferentes (mas y menos)  se restaran, si se tienen signos iguales se sumaran y en ambos casos se coloca el signo del numero mayor. Tenemos otras reglas con los signos, si se trata de multiplicaciones o divisiones, signos diferentes te darán negativo, signos iguales resultaran positivos.

Hay algunos problemas algebraicos que pueden llegar a resolverse mediante diferentes procedimientos y el resultado será el mismo, todo depende de que es lo que se te este requiriendo para determinar el procedimiento a seguir, o en el caso de algunos alumnos, el procedimiento como el maestro ha enseñado. No digo que este sea incorrecto, pero si sugiero que al enseñar a los alumnos a obtener un pensamiento algebraico, seamos capaces de abrir sus mentes y enseñarles todas las posibilidades existentes dentro de este, motivarlos a no seguir siempre el mismo procedimiento, si no a desarrollar uno propio, con el que el alumno se sienta mas cómodo, y para que tenga conocimiento de todos los demás y como son conocimientos básicos, es seguro que en su futuro les serán de mucha utilidad.

MATERIAL DIDACTICO

En contre videos padres para la enseñanza de semejanza y homotecia: http://www.youtube.com/watch?v=MkZJ-VFoOq8&feature=related

DECIMALES

Un profesor  se fija objetivos conforme examina los contenidos del curriculum que enseñará a sus alumnos,  de acuerdo a estos realiza su planeación para  que según su método didáctico, buscar las estrategias que garanticen  el cumplimiento de ellos  de una manera eficaz. Algunos de estos objetivos serán: Comprender el concepto de número racional; Saber distinguir entre número racional e irracional; reconocer los decimales exactos y periódicos; expresar un número decimal como fracción; expresar una fracción como número decimal; representar números decimales en la recta real de forma aproximada; representar algunas raíces en la recta real mediante el Teorema de Pitágoras, etcétera.

 Sin embargo el abordaje de los números naturales representa como todo, un problema como el de los distintos campos numéricos  ya que para los alumnos es difícil comprenderlos, además muchas veces la falta del conocimiento del docente ya que no se prepara adecuadamente al momento de preparar la clase hacia sus alumnos. Se puede prevenir mediante la adecuada planeación e investigación a profundidad de los contenidos, es de suma importancia que el docente entienda y domine lo que va a enseñar.

Los números decimales son tan pequeños que resulta difícil trabajar con ellos. A simple vista no pueden ser manipulados, un ejemplo es el sistema de unidad del metro, cuando tratamos con centímetros, aun podemos trabajar muy bien, pero si hablamos de milésimos o diez milésimos, nos resultaría imposible poder dibujarlos, pues el grosos del grafiti es más grande que su magnitud.

Por lo tanto la mayoría de las actividades para trabajar que se proponer son escritas, e imaginadas, solo suposiciones, resulta difícil llevarlos a situaciones de la vida cotidiana por lo extremado pequeños que son, sin embargo no es imposible. El buen docente encontrará la manera de hacer de este un buen aprendizaje, ejemplo, pedir a un alumno que mida el grosor de una sola hoja de papel es casi imposible, no cuenta con los instrumentos necesarios para hacerlo. Pero se puede dejar utilizar su creatividad para que busque la manera de obtenerlo, podría medir el grosor de 10 hojas  de papel, por ejemplo, y dividir el resultado así obteniendo de una manera estratégica el grosor de una hoja de papel.

Cuando tratamos con números, generalmente relacionamos la cantidad de cifras del numero con su magnitud; Entre más cifras contenga mayor será el número, sin embargo si tratamos con decimales, entre mas cifras existan ala derecha del punto decimal, significa que el número estará dividido en más partes. La colocación de cada cifra tiene una gran importancia y significado, su nombre también varía y esto resulta un poco  confuso para los alumnos, incluso a veces hasta para nosotros los adultos.

 Cualquier pretensión de enseñarle a un niño, no debe desconocer la distancia que existe entre el saber o conocimiento académico y las posibilidades que tiene el sujeto de conceptualizarlo. El proceso mediante el cual el saber académico se transforma a efectos de ser enseñado se denomina transposición didáctica y fue elaborado por Chevallard.

Este proceso que implica simplificaciones, recortes, que expone al conocimiento a deformaciones que pueden vaciarlo de contenido, poniendo en riesgo su significado. Cobra significado aquí el concepto de vigilancia epistemológica. La propuesta analítica de criterios de adquisición de los conceptos de Vergnaud complementa la de Chevallard en tanto la primera se ocupa del enseñar en cuanto al saber que se enseña y ésta en definir qué es necesario para que un concepto pueda ser aprendido.

 Sostenemos que el problema debe ser utilizado como elemento gestor del aprendizaje, sin desmedro de los otros usos que se le pueden dar a dicho recurso. Quizás lo más importante sea tener en cuenta que el problema debe tener un fuerte componente de obstáculo, siempre que el alumno se vea enfrentado a una situación que no pueda resolver mediante la simple aplicación de un esquema conocido, estaremos frente a un problema.

Las características de las situaciones didácticas son: la no intervención por parte del docente en la relación entre el sujeto de aprendizaje y el objeto de aprendizaje;  la instalación de la necesidad de aprender en el niño, para superar el obstáculo, y  la sanción como método de evaluación de los propios aprendizajes.