LOS DEFECTOS DEL APARATO EUCLIDIANO

En una teoría deductiva, cualquier sentencia que es una consecuencia lógica de una o más de los axiomas es también una sentencia de la teoría. Una teoría deductiva puede expresarse dentro de un sistema formal de la lógica cuyas reglas elementales, es decir, las leyes científicas, se toman como axiomas.  La geometría clásica era aplicada por mucho tiempo por la teoría deductiva, gracias a Euclides.

Si hablamos de teoremas, cada uno se encuentra unido por una relación necesaria a las preposiciones, de las cuales  se deduce como consecuencia, de suerte que, paso a paso, se constituye una red apretada en donde, directa o indirectamente, todas las proposiciones comunican entre sí. Asi, el conjunto forma una parte sin comprometer el todo.

Si nos regresamos un poco en la historia, los griegos razonaron ampliamente en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del arte de demostrar. Con ellos la geometría dejo de ser considerada como enunciados empíricos (basados en la experimentación)  a una ciencia racional, osea que aplica el razonamiento a las sus observaciones,y toda observación científica requiere de la explicación lógico-racional.

Un sistema axiomático o una teoría axiomática, es pues la forma acabada que toma hoy una teoría deductiva.

Los postulados

Un postulado es una proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.

Un teorema de geometría era a la vez un informe sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema lógico, una verdad  de hecho y una verdad de razón.

En cuanto a los sistemas, los principios que los imponen son simples hipótesis en la aceptación matemática de este término: no son dudosos, tampoco afirmados, está más allá de lo verdadero y lo falso. La verdad matemática toma así un carácter global: la de una vasta implicación, en donde la conjunción de todos los principios constituye el antecedente, y la de todos los teoremas, el consecuente.

LAS FIGURAS

Se ha discutido mucho para saber si la consideración de las figuras es esencial ala especulación geométrica. Una figura es la forma exterior de un cuerpo, o su representación gráfica en un dibujo escultura etc. Por lo tanto, si las demostraciones geométricas clásicas son tomadas como modelos, entonces es verdad que la intuición debe intervenir ahí. En las nuevas geometrías sus espacios ya no se dejan casi representar en la intuición. La intuición es  aquel conocimiento que es directo e inmediato, sin intervención de la deducción o del razonamiento, siendo habitualmente considerado como evidente.  Asi que la Intuición, es tan fuerte que aun su ausencia no se nota.

Proposiciones que anuncian propiedades topológicas, es decir. Conciernen al orden y a la continuidad, independientemente de toda consideración de ángulos y de métrica.

Un método riguroso no puede permitirse permanentemente usar solo intuición, exige que todas las propiedades supuestas sean enunciadas bajo la forma explícita de proposiciones: las que se demuestres, serán afirmadas como teoremas, las otras irán a aumentar el número de los postulados.

Los axiomas “nociones comunes” de Euclides, en otras palabras son axioma, Proposición clara y evidente que no necesita demostración

Han sido tomadas como una misma palabra, una axiomática es una postulantica. En la medida que se les da distinción a una de la otra, el axioma en vuelve la idea de una evidencia intelectual. Mientras que el postulado es una proposición sintética cuya contradicción, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante concebible, el axioma sería una proposición analítica que contribuiría un absurdo negar.

Ejemplo: “que es mayor que” se entiendo como “tiene una potencia superior  a” donde el axioma deja de valer para los conjuntos infinitos, en donde, no obstante el todo contiene con una demasía, ala parte.

Definición.- f. Proposición o fórmula por medio de la cual se define dando un conjunto de propiedades suficiente para designar de manera unívoca un objeto, individuo, grupo o idea:
una definición debe ser clara y exacta.

Definición y demostración.

El papel de la definición será hacer concebir exactamente el sentido de los términos que componen las preposiciones, y el de la demostración, hacer admitir la verdad de estas. Definición y demostración dependen entonces, de la retórica; su función es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica.

Pedagógicamente la buena demostración, o la buena definición, es la que el alumno comprende.